Opgaver til kurset Numerical Methods (Forår 2003)

Nedenstående programmer er lavet i matlab. Graferne er også lavet i matlab og gemt som epsc2 filer og derefter lavet om til gif filer ved hjælp af kommandoen "convert graf.epsc2 graf.gif".

Ugeseddel 1: Præcision af tal
Ugeseddel 2: Integration
Ugeseddel 3: Integration fortsat
Ugeseddel 4: Løsning af lineære ligningssystemer
Ugeseddel 5: Løsning af lineære ligningssystemer fortsat
Ugeseddel 6: Interpolation
Ugeseddel 7: Lineær least square fit
Ugeseddel 8: Løsning af ordinære differentialligninger
Ugeseddel 9: Løsning af ordinære differentialligninger fortsat
Ugeseddel 10: Diagonalisering af matricer
Ugeseddel 11: Find nulpunkter og minimum af funktioner
Ugeseddel 12: Find globalt minimum af en funktion
Ugeseddel 13: Monte Carlo integration

Ugeseddel 1: Præcision af tal

Her er et eksempel på, at man skal overveje hvilken rækkefølge, man lægger tal sammen i.

Det første program: Hello.m
Nøjagtighed af summer: Precision.m, Precision.txt

Ugeseddel 2: Integration

Når man udregner integralet af en funktion numerisk kan man benytte funktionsværdierne af endepunkterne af intervallerne (lukket formel) eller punkter inde i intervallet (åben formel). Det sidste kan være en fordel, hvis funktionen har singulariteter.

Integration vha. lukket formel: IntegrateClosed.m
Integration vha. åben formel: IntegrateOpen.m
Funktion der integreres: DiffArcTan.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 3: Integration fortsat

Når man integrerer kan man dele intervallet op i lige store delintervaller som på sidste ugeseddel, eller man kan bruge en adaptiv metode, hvor man laver flest delintervaller de steder, hvor funktionen ændrer sig mest.

Adaptiv integration vha. lukket formel: IntegrateClosedAdapt.m
Adaptiv integration vha. åben formel: IntegrateOpenAdapt.m
Funktion der integreres: DiffArcTan.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 4: Løsning af lineære ligningssystemer

En kvadratisk matrix A kan skrives som A=QR, hvor Q er ortogonal og R er højretriangulær.

QR-dekomposition: QRdecomp.m
QR-dekomposition med pivotering: QRdecompPivot.m

Ugeseddel 5: Løsning af lineære ligningssystemer fortsat

Følgende metoder kan sammen med programmerne fra ugeseddel 4 bruges til at løse ligningssystemer Ax=b, beregne determinanter og finde den inverse af en matrix.

QR-backsubstitution: QRback.m
QR-backsubstitution med pivotering: QRbackPivot.m
Beregning af determinant: QRdet.m
Beregning af determinant med pivotering: QRdetPivot.m
Find den inverse af en matrix: QRinverse.m
Find den inverse af en matrix med pivotering: QRinversePivot.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 6: Interpolation

Følgende metoder kan bruges til at lave kvadratisk spline og polynomisk interpolation af nogle givne punkter.

Find det delinterval et tal tilhører ved binær søgning: Locate.m
Beregn koefficienter af parablerne i kvadratisk spline: QSpline.m
Beregn funktionsværdier for x-værdier i kvadratisk spline: QSeval.m
Lav polynomisk interpolation: PolyInterpol.m
Main metode: Main.m
Grafer

Ugeseddel 7: Lineær least square fit

Et sæt datapunkter med usikkerheder på y-værdierne kan fittes til et polynomium ved hjælp af de følgende programmer. Ud over ligningen for polynomiet giver programmet også χ² og covariansmatricen.

QR-dekomposition af ikke-kvadratisk matrix: QRdecomp2.m
QR-backsubstitution af ikke-kvadratisk matrix: QRback2.m
Lineær least square fit: LSFit.m
Main metode: Main.m
Grafer

Ugeseddel 8: Løsning af ordinære differentialligninger

Ved hjælp af en anden-tredie ordens Runge-Kutta metode kan man løse en enkelt førsteordens differentialligninger. Afstanden mellem punkterne bestemmes ved en adaptiv metode.

Runge-Kutta metode: RungeKuttaSingle.m
Funktion der integreres: DiffArcTan.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 9: Løsning af ordinære differentialligninger fortsat

Runge-Kutta metoden er nu udvidet, så man kan løse et system med flere førsteordens differentialligninger.

Runge-Kutta metode: RungeKutta.m
Funktion: Sinus.m
Main metode: Main.m
Graf

Ugeseddel 10: Diagonalisering af matricer

Man kan diagonalisere matricer (dvs. finde egenværdier og egenvektorer) ved først at lave matricen tridiagonal og derefter benytte en algoritme, der bygger på QR-dekompositionen fra ugeseddel 4.

Tridiagonalisering: TriDiag.m
Beregn egenværdier og egenvektorer: EigenVal.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 11: Find nulpunkter og minimum af funktioner

Man kan finde nulpunkter for et ikke-lineært ligningssystem ved hjælp af Newtons metode. Denne metode kan modificeres ved at lave skridtlængden variabel.

Ved hjælp af downhill simplex metoden kan man finde minimum for en funktion af n variable. Programmet finder gradienten, dvs. den retning hvor hældningen er størst, og leder videre i den retning.

Newtons metode: Newton.m
Downhill simplex metoden: Simplex.m
Find nulpunkt af denne funktion: TestFunction.m
Find minimum af denne funktion: TestFunction2.m
Main metode: Main.m
Resultater: Results.txt

Ugeseddel 12: Find globalt minimum af en funktion

Hvis man i downhill simplex metoden fra sidste ugeseddel nogle gange tillader, at programmet går til et højereliggende punkt i stedet for altid at gå nedad, så kan man undgå at blive fanget i et lokalt minimum. I metropolis algoritmen accepteres skridt opad med en sandsynlighed P=exp(-ΔE/T), hvor T langsomt gøres mindre.